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Lecture 10

DPDA

确定下推自动机

Definition

PDA \(P = (Q, \Sigma,\Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)\) 称为确定的下推自动机，如果满足

  1. 对于 \(a \in \Sigma\) 或 \(a = \epsilon\), \(X \in \Gamma - \{\epsilon\}\), \(\delta(q, a, X)\) 最多包含一个元素
  2. 对于 \(a \in \Sigma\), \(a \neq \epsilon\)，若 \(\delta(q, a, X) \neq \emptyset\), 则 \(\delta(q, \epsilon, X) = \emptyset\)

DPDA 的语言

Example

\(L = \lbrace ww^R \mid w \in \lbrace 0, 1\rbrace^* \rbrace\)

有 PDA 接受该语言，但是没有 DPDA 接受该语言

NPDA 的表达能力比 DPDA 的表达能力更强。

Theorem

若 \(L\) 是正则语言，则存在一个 DPDA \(P\)，使得 \(L(P) = L\)

Theorem

DPDA 的表达能力强于有限自动机

例如 \(L = \{wcw^R \mid w \in \{0,1\}^*\}\)，不是正则语言，但是是一个 DPDA的语言。

终态型 DPDA 与空栈型 DPDA

Note

前缀性质：一个语言 \(L\) 具有前缀性质，当且仅当不存在 \(x,y \in L\), \(x \neq y\), 且 \(x\) 为 \(y\) 的前缀。

Theorem

语言 \(L\) 是空栈型 DPDA　\(P\) 的语言，当且仅当

  • \(L\) 具有前缀性质
  • \(L\) 是某终态型 DPDA \(P'\) 的语言
\[\{ \text{空栈型DPDA的语言}\} \subsetneq \{ \text{终态型DPDA的语言}\}\]

真包含的例子 \(L = L(a^*)\) 没有前缀性质。

DPDA 与二义文法

Theorem

若语言 \(L\) 是空栈型 DPDA P 的语言，则存在无二义上下文无关文法 \(G\) 使得 \(L = L(G)\)，进一步，有

\[\{\text{DPDA语言}\} \subsetneq \{\text{CFG非固有二义语言}\}\]

真包含的例子 \(L = \{ww^R \mid w \in \{0,1\}^* \}\)

CFG 化简与规范

消去无用符号

Definition

有用符号（useful symbol）

  • 对于 CFG \(G = (V,T,S,P)\) 称符号 \(x \in V \cup T\) 是有用的，当且仅当
    • \[S \xRightarrow{*} \alpha X \beta \xRightarrow{*} w\]
    • 其中 \(w \in T^*, \alpha, \beta \in w\)

所谓无用符号就是 非有用符号

  • 无用产生式：含有无用符号的产生式
    • 产生式推导不能终止
    • 开始变量不可达

Definition

产生符号：\(X\) 称为产生符，如果存在 \(w \in T^*\) 满足 \(X \xRightarrow{*} w\)

可达符号：\(X\) 称为可达符，如果存在 \(\alpha,\beta \in (V \cup T)^*\)，满足 \(S \xRightarrow{*} \alpha X \beta\)

约定：终结符是产生符，\(S\) 是可达符

Algorithm

对 \(G = (V,T,S,P)\) 产生符集合由如下步骤计算：

  • 基础：任何终结符 \(a \in T\) 都是产生符
  • 归纳：若有产生式 \(A \to \alpha\)，且 \(\alpha\) 中的每个符号都是产生符，则 \(A\) 也是产生符

对 \(G\)，可达符集合可由下列步骤计算

  • 基础：\(S\) 是可达符
  • 归纳：若 \(A\) 是可达符，且 \(A \to \alpha\)，\(\alpha \in (V \cup T)^*\) 则 \(\alpha\) 中的符号都是可达符

消去无用符号

  • 计算产生符集合
  • 消去非产生符号
  • 计算可达符号集合
  • 消去不可达符号

消去 \(\epsilon\) 产生式

目的：方便文法的设计，利于文法的规范化。

Definition

可空符号：设 CFG \(G = (V,T,S,P)\)，称符号 \(A \in V\) 是可空的，如果 \(A \rightarrow \epsilon\)

Algorithm

计算步骤：对于 CFG \(G = (V,T,S,P)\)，可空符号集合通过下列归纳步骤计算

  • 基础：对所有产生式 \(A \to \epsilon\)，\(A\) 是一个可空符号
  • 归纳：如果有产生式 \(B \to C_1\cdots C_k\)，其中每一个 \(C_i \in V\) 是可空符号，则 \(B\) 也是可空符号

消去 \(\epsilon\) 产生式

  • 计算可空符号集合
  • 对每一个产生式 \(A \to A_1 \codts A_k\)，在新的 CFG 中，每一个可空符号都可能出现或不出现

消去单一产生式

单一产生式

形如 \(A \to B\) 的产生式，其中 \(A\) \(B\) 为非终结符

消去单一产生式可以减少文法的数量，简化文法推导。

单一偶对

设 CFG \(G = (V,T,P,S)\)，\(A,B \in V\)，\((A, B)\) 称为单一偶对，如果 \(A \xRightarrow{*} B\) 且该推导过程仅使用单一产生式。

消去单一产生式时，需要计算所有单一偶对的集合。

Algorithm

先计算单一偶对

  • 基础：对于任何 \(A \in V\)，\((A,A)\) 是一个单一偶对
  • 归纳：如果 \((A,B)\) 是一个单一偶对，且 \(B \to C\) 是产生式（\(C \in V\)），\((A, C)\) 是一个单一偶对

消去单一产生式的算法

  • 计算 \(G\) 的单一产生式集合
  • 对每个单一偶对 \((A,B)\) 在 \(G_1\) 中加入 \(A \to \alpha\)，其中 \(B \to \alpha\) 为一非单一产生式
  • \(G_1\) 中包含 \(G\) 中所有非单一产生式

CFG 的化简与 Chomsky 范式

CFG 的简化

  • 消去 \(\epsilon\) 产生式
  • 消去单一产生式
  • 消去无用产生式

Theorem

设 CFG \(G\) 的语言包含非 \(\epsilon\) 字符串，通过上述步骤从 CFG \(G\) 构造 CFG \(G_1\)，则有

\[L(G_1) = L(G) -\{\epsilon\}\]

Chomsky 范式

  • \(G\) 中不含无用符号
  • 产生式 \(P\) 中只具有如下两种简单形式之一
    • \[A \to BC \quad A \to a\]

它的语法分析树是一个二叉树

转化 Chomsky 范式

  • 消去 \(\epsilon\) 产生式
  • 消去单一产生式
  • 消去无用产生式

得到一个 CFG \(G_2\)，将 \(G_2\) 作如下变换

  • 如果某一终结符 a 出现于某些右部长度大于 1 的产生式中，则引入一个新的非终结符，如 \(A\)，将这些产生式中的 \(a\) 替换为 \(A\)，并增加产生式
    • \(A \to a\)
    • 则右边长度大于 1 的产生式中只有非终结符
  • 右部长度 \(> 2\) 的产生式 \(A \to B_1 \cdots B_k\)，采用级联的方式转变为只含有两个非终结符；引入 \(k - 2\) 个新的非终结符
    • \(A \to B_1 C_1 , C_1 \to B_2 C_2 \cdots\)