Lecture 9

PDA 介绍

状态转移的记号

\[ a, b \to c\]

\(a,b,c\) 分别为输入符号，栈弹出符号，栈压入符号。

• \(b,c\) 均允许 \(\epsilon\)，\(b \to \epsilon\) 表示 pop，\(\epsilon \to \epsilon\) 表示 No change。
• 出现不容许的迁移时，会停机且拒绝输入串。

状态转移函数

\[\delta(q_1, a, b) = \{(q_2, w)\}\]

这里的 \(w\) 为压入串，比如 \(w = cdf\) 时，依次将 \(fdc\) 压入栈中。

PDA 的定义

Definition

PDA 为七元组 \(P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta , q_0 ,Z_0, F)\)

• 有限状态集合：\(Q\)
• 有限输入字母表：\(\Sigma\)
• 有限栈字符：\(\Gamma\)
• 转移函数：\(\delta\)
• 初始状态：\(q_0\)
• 栈初始符号：\(Z_0\)
• 终态集合：\(F\)

空栈型 PDA 为六元组，没有终态集合

一个字符串被 DFA 拒绝，如果满足：

• 输入字符串不能读完
• 或最后不能落在 PDA 的终态

字符串接受与否，与栈中元素无关。

PDA 的即时描述

Definition

PDA 的即时描述（ID）是一个三元组

\[(q,w,\gamma)\]

分别为：当前状态，未读剩余输入，栈中当前符号

\(\gamma\) 从左到右为栈从栈顶到栈底

Definition

设 PDA \(P = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta , q_0 ,Z_0, F)\)，\(\vdash_P\) 或 \(\vdash\) 满足

若 \((p,\alpha) \in \delta(q, a, X)\)

则 \((q ,aw, X\beta) \vdash (p, w, \alpha\beta)\)

Definition

\(\vdash^*_P\) 或者 \(\vdash^*\) 定义为 ID 的传递闭包

Theorem

若 \((q, x, \alpha) \vdash^* (p, y, \beta)\)

那么，对于任意的 \(w \in \Sigma^*\) 且 \(\gamma \in \Gamma^*\)

\[(q, xw, \alpha \gamma) \vdash^* (p, yw, \beta \gamma)\]

PDA 的语言

终态型 PDA 的语言

\[L(M) = \lbrace w \mid w \in \Sigma^* (q_0, w, z_0) \vdash^*_M (q_f,\epsilon,u), u\in \Gamma^* \rbrace\]

空栈型 PDA 的语言

\[N(M) = \lbrace w\mid (q_0, w, Z_0) \vdash^* (q,\epsilon,\epsilon), q\in Q \rbrace\]

Theorem

上述两种 PDA 接受的语言的集合相同。

PDA 与 CFG 的关系

CFG 转换 PDA

设 CFG \(G = (V,T,P,S)\)，构造一个空栈型 PDA：

\[M = (\{q\}, T, V \cup T, \delta, q, S)\]

转移函数 \(\delta\) 定义如下：

• 对每一个 \(A \in V\)
  • \[\delta(q,\epsilon, A) = \{(q, \beta) \mid A \to \beta \in P\}\]
• 对每一个 \(a \in T\)
  • \[\delta(q, a, a) = \{(q, \epsilon)\}\]

PDA 转换 CFG

设 PDA \(M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta , q_0 ,Z_0)\) 构造CFG \(G = (V \Sigma, P, S)\)，其中 \(V = \{S\} \cup \{[p\times q] \mid p, q \in Q, X \in \Gamma\}\)