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Lecture 13

CFL 的判定性质

  • 空语言问题：给定一个 CFG，如何判定 \(L(G) = \emptyset\)
    • 检测开始变量是否是无用符号
  • 无限语言问题：给定一个 CFG \(G\)，如何判定其语言是无限的
    • 消去 \(\epsilon\) 产生式和单一产生式
    • 消去无用符号
    • 构造变量依赖图
    • 若图中有环，则其语言是无限的
  • 语言元素问题：给定一个 CFG \(G\)，如何判定字符串 \(w \in L(G)\)
    • 穷尽分析树搜索法
    • CYK 算法

Note

设 \(G = (V, T,S,P)\) 为满足 CNF 的 CFG，\(w = a_1a_2 \cdots a_n \in T^*\)；

迭代计算满足下列条件的 \(X_{ij}\) (\(1 \leq i \leq j \leq n\))

  1. \(X_{ij} \subseteq V\)
  2. \(A \in X_{ij} \iff A \Rightarrow a_i \cdots a_j\)

因此 \(w\in L(G) \iff S \in X_{1n}\)

Note

  1. \(j = i\)，若 \("A \to a_i" \in P\)，则 \(A \in X_{ij}\)
  2. \(i < j\)，\(A \in X_{ij} \iff \exist k, i\leq k \leq j\)，可以找到 \(B \in X_{ik}\) 和 \(C\in X_{(k+1) j}\)，使得 \((A \to BC) \in P\)

算法的时间复杂度为 \(O(n^3)\)

Note

Note

  • 上下文无关文法是否是无歧义的
  • 上下文无关语言是否是固有歧义的
  • 两个上下文无关语言相交是否为空
  • 两个上下文无关语言是否相等
  • 上下文无关语言是否等于 \(\Sigma^*\)

Turing 机介绍

  • 基本 Turing 机
  • 组成：Finite control，tape，tape head，blank（空白带符），cell，tape symbol
  • 带的两端是无限的
  • 每一步，读头需完成如下动作
    • 读一个符号
    • 写一个符号
    • 左移或右移
  • 输入字符串
    • 输入串不能为空
    • 读头开始时位于输入串的最左端
  • 状态转移
    • \(a \to b, L\) 读 \(a\)，写 \(b\)，左移，也有的记为 \(a / b \leftarrow\)
      • \(\delta(q_1,a) = (q_2, b, L)\)
    • \(a \to b, R\) 读 \(a\)，写 \(b\)，右移，也有的记为 \(a / b \rightarrow\)
      • \(\delta(q_1,a) = (q_2, b, R)\)
  • 识别字符串
    • 接受输入 \(\iff\) 当输入完字符串，TM 停在某终态
    • 拒绝输入 \(\iff\) TM 停在一个非终态，或者 TM 进入一个无限循环

Turing 机定义

Note

一个 TM 是一个 七元组 \(M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, B, F)\)

  • 有限状态集合
  • 有限输入符号集
  • 有限带符号集
  • 转移函数
    • \(\delta: Q\times \Gamma \to Q \times \Gamma \times \lbrace L, R\rbrace\)
  • 开始状态
  • 空白符
  • 终态集合

Turing 机即时描述

Note

图灵机 \(M\)，当前格局 \(X_1X_2\cdots X_{i-1}qX_i\cdots X_n\) 称为即时描述，其中

  1. \(q \in Q\) 为当前 \(M\) 的状态
  2. 当前读头正在扫描 \(X_i\)

Note

给定图灵机 \(M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, B, F)\)，定义 \(ID\) 之间的推导关系如下

  • 设 \(\delta(q, X_i) = (p, Y, L)\) 有
    • \(X_1 \cdots X_{i-1} q X_i X_{i+1} \cdots X_n \vdash X_1 \cdots X_{i-2} p X_{i-1}Y X_{i+1} \cdots X_n\)
    • 两个例外情况
      • \(i = 1\) 时
      • \(i = n\) 且 \(Y = B\) 时
  • 右移的情形同理

Turing 机语言

!!!note 递归可枚举语言 (Recursive enumerable languages)

图灵机接受的语言称为递归可枚举语言。

给定图灵机 $M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, B, F)$，定义 $M$ 的语言

$$L(M) = \lbrace w\mid w\in \Sigma^*, q_0 w \vdash^*_M \alpha p \beta, p\in F, \alpha \in \Gamma^*, \beta \in \Gamma^* \rbrace $$
  • 停机：若 TM 没有可能的后续转移，则停机
  • 定理：任给一个图灵机，容易构造另一个图灵机 \(M'\)，使得 \(L(M) = L(M')\)，并满足：如果 \(w \in L(M)\)，则对于 \(w \(，\)M'\) 接受 \(w\) 并一定停机

Note

称语言 \(L\) 是递归的，当且仅当存在图灵机 \(M\)，\(L = L(M)\)，且满足

  1. 若 \(w \in L(M)\)，则对于 \(w\)，\(M\) 接受 \(w\)，自然会停机
  2. 若 \(w \notin L(M)\)，则对于 \(w\)，\(M\) 最终也会停机