Lecture 7

DFA 的优化¶

Defintion

设 \(D = (Q,\Sigma,\delta,q_0,F)\)，定义 \(Q\) 上的关系

\[p \sim q \Leftrightarrow \left( \forall w \in \Sigma^* \delta^*(p, w) \in F \Leftrightarrow \delta^*(q,w) \in F \right)\]

可以验证，这个关系为等价关系。

我们在这个 DFA 状态集关于等价关系的商集上构造一个 DFA。

若 \(p\) 为终态，\(q\) 为非终态，则标记 \(p\) 和 \(q\) 为可区别的
设 \(p\) 和 \(q\) 为可区别的，若状态 \(r\) 和 \(s\) 通过输入符号 \(a\) 可以分别转移到 \(p\) 和 \(q\)，则 \(r\) 和 \(s\) 也标记为可区别的。

DFA 的优化

Theorem

通过上述算法构造的 DFA 是最优的。

证明思路大概是反设有一个更优的自动机，在构造的并自动机之中。

再由鸽巢原理得到矛盾。

Cfg

上下文无关文法定义为一个四元组 \(G = (V,T,S,P)\)

分别表示：变量、终结符、开始变量、产生式

Defintion

最左推导：推导过程的每一步总是替换出现在最左边的非终结符，用 \(\Overrightarrow{lm}\)表示
最右推导：推导过程的每一步总是替换出现在最右边的非终结符，用\(\Overrightarrow{rm}\)表示
设 \(G = (V,T,S,P)\) 是一个 CFG，\(\alpha \in \lbrace V \cup T \rbrace^*\) 为 \(G\) 的一个句型，若 \(\alpha \in T^*\) 称 \(\alpha\) 为一个句子

对于一个 CFG \(G = (V,T,S,P)\)，语法分析树满足下列条件

每个内部结点由一个非终结符标记
每个叶节点或为一个变量，或为一个终结符，或由 \(\epsilon\) 来标记，当标记为 \(\epsilon\) 时，它是其父节点唯一的子节点
若一个内部结点标记为 \(A\)，而其子节点从左至右分别标记为 \(X_1,X_2\cdots X_k\)，则 \(A \to X_1X_2\cdots X_k\) 为 \(P\) 中的一个产生式。

将语法分析树中的每个叶节点按从左至右的次序连接起来，得到一个 \(\lbrace V \cup T\rbrace^T\) 中的字符串，称为该语法树的产物。

\(G\) 的每个句型都是某个根结点为 \(S\) 的分析树的产物；这些分析树中，有些树的产物为句子，所有这些分析树的产物构成了 \(G\) 的语言

Theorem

设 CFG \(G = (V,T,S,P)\)，TFAE