Lecture 14

Turing 机的计算

Note

选用单位制表示，易于图灵机的操作

Note

函数 \(f\) 是可计算的，如果存在图灵机 \(M\)，对任意 \(w \in D\)，满足

\[f: a_o w \vdash^* q_f f(w)\]

Example

• \(f(x, y) = x + y\)
• \(f(x) = 2x\)
• \(f(x, y) = \begin{cases} 1 & x > y \\ 0 & x \leq y \end{cases}\)

Turing 机编程

Note

\(\(Q = S \times T = \{[q,a] \mid q\in S, a\in T\}\)\)

其中 \(q \in S\) 是控制状态，\(a \in T\) 为参数

Note

将符号的形式改为多元组，即可实现多道 Turing 机

Example

• 复制数 \(0^n\) 的子程序
• 计算乘法 \(n \times m\) 的 Turing 机
  • 将复制的子程序作为一个组件

Turing 理论

Note

能机械计算的一定能用 Turing 机实现

到目前为止，没有比 Turing 机更强的计算模型

Note

• 图灵机 \(M_1\) 和 \(M_2\) 称为等价，如果 \(L(M_1) = L(M_2)\)
• 两类图灵机的功能相同是指：两类图灵机接受相同的语言集合
• 证明 TM 等价的方法：模拟

TM 带的扩展

Warning

多通道 Turing 机和多带 Turing 机是不同的

Note

\(k\) 个带的图灵机可以用 \(2k\) 道的图灵机模拟

也就是说：多带图灵机与标准图灵机功能相同，但是速度并不一定一样

Question

如何设计一个双带Turing 机 接受语言

\[L = \{0^n1^n2^n \mid n \geq 1\}\]

Note

可以用标准 Turing 机模拟，整两个道，记录坐标

状态转移的扩展

Note

读头可以停在原来的位置

显然停止功能的图灵机可以模拟标准图灵机，我们说明标准图灵机也可以模拟停止功能图灵机

Note

非确定自动机：TM 下一步移动有多种选择

转移函数定义为

\[\delta: Q\times \Gamma \to \mathcal{P}^{Q \times \Gamma \times D}\]

定理：非确定 TM 与标准 TM 具有相同的功能

受限图灵机

Note

显然标准图灵机可以模拟半无限带机，利用一个两通道半无限带机也可以模拟标准图灵机

Turing 机与其它自动机

Note